Gorden Sun (@Gorden_Sun) “OpenAI公布十项数学与理论计算机科学新结果，全部由AI主导完成 OpenAI内部一个代号Ast” — TopicDigg

OpenAI公布十项数学与理论计算机科学新结果，全部由AI主导完成 OpenAI内部一个代号Astra的未发布模型，在球体堆积、编码理论、群论、算子代数、量子复杂度、格密码学和极值组合数学等领域，解决了十个悬而未决数十年的公开问题。每个结果都配有一份用Lean 4形式化的证明，证明代码公开在Github上（ 这些数学论证本身是由模型生成的，人类只负责把论证整理成手稿、并完成Lean形式化。跟现在程序员用AI写代码的过程类似：AI写代码，人类程序员只负责review，甚至有的都不review，直接accept后做功能测试。 想想未来数学家、科学家像程序员一样，主要职责就是验证和Accept，未免有点太刺激。 OpenAI原文： 10道题目简介： 1. 高维球体堆积：多少个球能塞进一个盒子 想象在很高维度的空间里堆橙子，怎么堆最省地方、能塞下最多球，是一个跟晶体结构、通信编码都有关的经典问题。1978年提出的Kabatiansky–Levenshtein上界四十多年没人从根本上突破。AI生成的公式算出的指数约为每维度−0.604，比历史最佳的−0.599更紧。 2. 二元码与球面码：怎样让传错的信息还能被纠回来 给数字信号加冗余，让接收端即使传输出错也能纠正，是编码理论的核心问题——纠错能力越强（码字间距离越大），能塞进的合法码字就越少，这是一个此消彼长的权衡。这次的结果把已知的码字数量上界在指数意义上大幅收紧，缩小了理论允许的最好码和已知构造出的码之间的差距。 3. 非苏菲克群：所有“群”都能用有限的东西去逼近吗 群是数学里描述“对称性”的基本结构。一个自然的问题是：任意一个群，是否总能用足够大的有限置换群去足够精确地逼近（这类群叫“苏菲克群”）？这个问题多年没有定论。这次的结果构造出一个明确、有限表现的群，并证明它天生无法被这样逼近，即它是非苏菲克的。 4. Connes刚性猜想：换了一张“脸”，身份还是原来那个吗 每个群都能生成一种叫von Neumann代数的运算结构，有点像给群拍了一张“运算指纹”。Connes猜想认为，对某一类群来说，这张指纹应该能唯一认出原来的群，不会有两个不同的群共享同一张指纹。这次的结果构造出一个反例：两个结构不同的群，却生成了本质相同的von Neumann代数，说明这张“指纹”并不总是唯一的。 5. Permanent的计算下界：为什么有些矩阵运算天生就很难加速 矩阵有个大家熟悉的量叫行列式，靠消元法就能快速算出来。它有个“难兄弟”叫permanent，长得像行列式但去掉了正负号，恰恰就是这个符号差异，让permanent在已知算法里始终摆脱不了指数级的计算量。这次的结果证明，只用加法和乘法搭出的电路（不允许用除法这类“捷径”）去计算permanent，电路规模必须达到某个新的、更高的下界，从数学上解释了为什么这类计算“绕不开”。 6. 量子平行重复：把同一个博弈重复玩，输赢概率会怎样变 在双人合作博弈里，如果重复玩k次要求全部获胜，直觉上获胜概率应该随k指数级下降。这件事在经典（非量子）情形下早已证明，但如果博弈双方可以用量子纠缠来配合，之前的证明工具只能给出很弱的下降速度（大约是根号级）。这次的结果把这个结论真正推广到了一般的量子博弈情形，证明获胜概率同样会指数级下降。 7. 最近向量问题CVP：格密码学为什么“抗量子” 把很多点按固定的方向和间隔整齐排列在高维空间里，就构成了一个“格”。给定格外一个随意的点，找出离它最近的格点，这就是最近向量问题CVP。这次的结果证明，哪怕只要求“大致找到”一个足够近的格点（而不是精确最近），这个问题依然是NP困难的，也就是说没有已知的快速算法能保证解决它。这正是后量子密码学敢于依赖格结构的理论基石。 8. Ehrhart体积猜想：一个凸体最多能“胖”到什么程度 设想一个凸的几何体，它唯一包含的内部整数点就是它自己的重心，那么这个凸体的体积最多能有多大？这次的结果给出了每个维度下精确的答案，是(n+1)n/n!(n+1)^n/n! (n+1)n/n!。 9. 多色拉姆齐数：想在一堆点里完全避开“三角形”，要多少种颜色 拉姆齐理论说的是：只要一个系统足够大，规律和结构必然会自发出现。把这句话落到最经典的问题上：给一张完全图的每条边染上k种颜色中的一种，要让图里避免出现同色三角形，图至少要多大？这就是Erdős第183号公开问题。这次的结果证明，这个最小规模会随k呈“超指数”增长，也就是比任何形如 c^k 的指数增长都快，彻底解决了这道悬了很久的题目。 10. 极值图论中的两个反例：稠密程度能推出图有多“退化”吗 极值图论研究的是：给定一些限制条件（比如不能出现某种子图），一张图最多能有多少条边。这次的结果针对两个具体的公开猜想（Erdős第146和180号问题）构造出了反例，说明原猜想设想的“边数够多就必然导致某种退化结构”的推理并不总是成立。